menu
Anh-Thi DINH

Note on PhD thesis

Posted on 22/06/2018, in PhD.

How to write?

  • El-Otmany2015 ổng dành ra 1 chương để viết về NXFEM conforming của Hansbo luôn.
  • Nhược điểm của phương pháp Hansbo: this method has two major drawbacks that will be discussed thoroughly. Firstly, the corresponding matrix may become ill conditioned in case $\vert K_i\vert$ is small for all the triangles in the support of a basis function. Secondly, the scheme cannot be simultaneously robust with respect to small cut elements and large contrast problems.
  • Vẽ hình thuật toán ứng dụng level set có thể bắt chước Figure 3.1 trong thesis của yuanjun
  • Proposition 2.2 trong thesis của mình (inequality mà chứng minh phụ thuộc nhiều vào định nghĩa của $\kappa_i$ có thể tham khảo chứng minh ở Lemma 3.2 trong hansbo 2014 a cut fem stokes interface.pdf.

Linh tinh

  • Các bài báo cần nhưng chưa download được:
    • Pohozaev, S.T. The Dirihlet problem for the equation $\Delta u=u^2$, Soviet Math.
    • Ishihara K. On finite element schemes of the Dirichlet problem for a system of nonlinear elliptic equations. Numer Funct Anal and Optimiz.
  • Vùng lân cận : the vicinity of the interface $\Gamma$.
  • Cách định nghĩa và hình minh họa của jump và average được cho trong sách discontinuous galerkin method BOOK - Di Pietro-Ern.pdf trang 29 pdf. Mesh Faces, Averages and jumps cũng nói khá rõ và chi tiết trong mục 1.2.3 của sách này.
  • Chopp có một note (chopp NOTE moving interface.pdf) để nói về interface problem luôn. Trong đây ổng có nhắc về time step vs time independent, level set method, fast marching method,
  • XFEM (original idea) : Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in Finite elements with minimal remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1999
  • So sánh Xfem và immersed interface method (IIM) trong bài báo của Chopp 2006
  • extended finite element method (xfem) is introduced by Belytschko et al. (cái này dược Trung Hiếu nói đến trong thesis, trang 20)
  • Ngoài Book của Arnold (chương 7), trung Hieu’s thesis nói về vụ P2 của interface thì bài báo “implementation of an x-fem solver for the classical two phase stefan problem” (file location of interface.pdf) cũng có nói đến nó. Bài báo này có nói nếu dùng P1 sẽ ko tốt, còn ref tới 1 bài báo khác chứng minh [22]. Trang này cũng có nói về 1 pp khác phức tạp hơn.
  • Cách implementation interface cut triangles có được nói đến trogn bài báo của Hansbo “CutFEM: discretizing geometry and pde”
  • Reinitialization : Trong Arnold, Lehrenfeld và cả master thesis của Dag Lindbo nữa (file fem level set - dag lindbo.pdf)
  • level set, nxfem, nistche na ná cái của mình nằm trong thesis của Naerland (fiel decomposition nitsche unfitted - naerland THESIS.pdf). Một ví dụ để code cũng có thể tìm thấy trong đây.
  • In [BZ12] it is shown that $\kappa(A)$ depends on how the interface cuts an element. (trang 50 xfem interface Christoph Lehrenfeld NOTE.pdf)

Useful terms and expressions

  • We will deal with $f \equiv u^p, -u+u^p $, or variants thereof.
  • Taking into account (1.3), we deduce
  • For convenience we drop the measures of integration
  • Noting that
  • Throughout C denotes a generic constant independent of h,t,e,…
  • In addition, C(a1,…,) denotes a constant depending on the arguments {a_i}
  • Owing to Theorem A, … = giống Thanks to …
  • thanks to Cauchy-Schwarz inequality, together with Proposition
  • We also hope to survey existing algorithms and to introduce new ones,…
  • For the sake of simplicity,
  • , viz., (tức là)
  • In the analysis we will frequently use the notation $a \lesssim b$ meaning that $a ≤ Cb$ where $C$ is a positive constant depending only on the shape regularity bound Cρ or the particular form of the problem (1). Trong bài báo của Hansbo (stabilized…)

Discussion với cô & Ideas

  • Hansbo, Loch, Lehrenfeld, Trung-Hieu, Arnold, Hansbo, Barrau,.. chỉ làm việc trên NXFEM cho linear thông thường.
    • Mình : nonlinear + system + nxfem : nhưng chỉ tập trung vào system + existence + convergence.
    • Còn thiếu : nonlinear + nxfem cho single equation, convergence của nghiệm, rate of convergence, stability,… $\Rightarrow$ có thể được một bài báo nữa.
  • Convergence theo nghĩa thông thường $\Vert u-u_h \Vert$ chỉ có thể áp dụng nếu như chứng minh được nghiệm duy nhất. Còn không thì phải làm theo hướng hội tụ yếu hay hầu khắp nơi gì đó.
  • Cô nói mình xem cái thèse và bài báo của barrau (cf. Barrau2013) để bắt chước và viết theo.
  • Các bài báo của Cogan đều thiếu 1 cái gì đó, cô đã nói như vậy.

Other information

  • XFEM is a partition of unity fem (PUFEM), cf. On the implementation of the extended FEM for interface problems - Carraro
  • In this thesis we study a Nitsche-XFEM method that is suitable for diffusion-dominated problems. When the diffusivity is very small (relative to the convection), as in many real processes, a stabilization technique is needed. For the Nitsche-XFEM discretization, such a stabilization is not available, yet. Trung Hieu’s thesis page 14 pdf.

Test cases

  1. Hansbo2002 : ví dụ từ bài báo gốc, tuy nhiên nói ko rõ các thứ lúc áp dụng khi code.
  2. Sinha : cái này có boundary condition đầy đủ, tuy nhiên solution không phụ thuộc vào diffusion coefficients.
  3. Barrau2012 (Becker) : cái này để test sự thay đổi của diffusion coefficients, nghiệm cũng phụ thuộc vào k.
  4. Carraro2016 : On the implementation of the xfem for interface problems. Cái này nghiệm rất đơn giản.
  5. Capatina2015 : cái này có áp dụng ghost penalty nhưng có khác tí, cái ví dụ nêu rõ luôn các hệ số lấy bao nhiêu, bao gồm cả $\lambda$
  6. Chopp2007 : ví dụ đơn giản, hệ có liên quan đến biofilm và potential.
  7. Barrau2013 : trong thèse của bà này có 2 ví dụ, có nói cụ thể. Thật ra mấy cái ví dụ trong đây cũng lấy từ cái khác nhưng mà áp dụng phương pháp trong này.
    • Becker interface là đường thẳng: trang 44
    • Nửa đường tròn (giống Becker), có bảng convergence rate luôn: trang 47
    • Nguyên đường tròn, không có cắt biên (giống Becker): miêu tả ở trang 100, hình ở trang 49.
  8. Li2003 : lại là cái ví dụ $r=\sqrt{x^2+y^2}$.
  9. El-Otmany2015 : thesis của anh này nói khá rõ, có nhiều ví dụ, tiếng Pháp.
    • Trang 73, ví dụ linear, $k_1=k_2$
    • Mục 3.2
  10. Burman 2011: test case có sẵn convergence rate luôn ở trang 269-270
  11. cutfem 2014: có test case và các kết quả sự ảnh hưởng của ghost penalty term.
  12. Wang Chen: giống cái của Becker

Cái mô hình đang làm là dạng tổng quát nhất, để khi mình thử nghiệm những parameters khác nhau vào thì nó cũng ok.

Thesis của người khác

Danh sách các thesis hoặc notes hoặc book của người khác rất bổ ích.

  • Lehrenfeld2015 ghi chú rất chi tiết và gọn về phương pháp trên interface
  • HieuThesis thèse của anh Hiếu về đề tài này, ảnh làm chung với Arnold.
  • ArnoldBook Sách viết chi tiết của Arnold về extended FEM.
  • Barrau2013 Thèse tiếng Pháp của Barrau ở đại học Pau
  • El-Otmany2015 Mới hoàn thành thôi (2015), thầy Adel làm rapporter cho anh này.
    • Ông này làm với nonconforming FEM.
    • Ổng đưa ra 2 cách để optimal bound consistency error: thứ nhất là vẫn giữ nguyên cái basis function proposed by Crouzeix-Raviart nhưng thêm lượng stability. Cách thứ hai là điều chỉnh các basis function này, lúc đầu nó tập trung vào toàn bộ edges, giờ chỉ tập trung vào các cut edges mà thôi
  • Hysing2007 Dùng để viết.
  • Bui2009 Thesis của chị Cúc
  • Loch2013 Viết kỹ về level set method
  • Smith2007 XFEM with interface problem.
  • level set, nxfem, nistche na ná cái của mình nằm trong thesis của Naerland (file decomposition nitsche unfitted - naerland THESIS.pdf). Một ví dụ để code cũng có thể tìm thấy trong đây.
  • Zahedi 2011: ông này làm với Hansbo và Burman, trong cái file mình có thì ổng có viết giới thiệu nhiều phương pháp, immersed interface method, unfitted,…đặc biệt là ổng làm nhiều về condition number, có thể tham khảo thesis của ổng để viết.

Và còn 1 số thesis khác, xem thêm trong thư mục Downloads\thesis.

phd
Top