menu
Anh-Thi DINH

PhD: Reading papers

Posted on 21/03/2017, in PhD.

Semilinear, nonlinear elliptic solution

Tham khảo thêm trang chuyên về semilinear ở đây. Ở đây chỉ nói 1 số kết quả đã được làm từ các người khác ra sao

  1. discrete max principle fem elliptic interface - korotov 2009.pdf ổng đã chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm cho trường hợp semilinear interface problem nhưng mà áp dụng pp khác (discrete maximum principle fem).
  2. fem sol nonlinear elliptic - zenisek 1987.pdf: ổng chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm nhưng với 1 đống assumptions luôn. Cái này làm chứng minh cho $a(u,v)=(f,v)$

Hansbo & Burman

Bài báo của Hansbo2002 : mô hình giống của Sinha (Sinha có sau) và Chen&Zou nhưng dựa vào unfitted discontinuous fem, cũng dựa vào Nitsche method. Cái này chỉ làm với elliptic thôi.

Zahedi

Bà này có làm việc với Peter Hansbo và Burman nên để trong mục của hai ông này luôn! Họ có rất nhiều bài báo với nhau về đề tài này!

Bài báo zahedi wadbro 2013 unifomly well-conditioned unfitted Nitsche interface.pdf

  • Cái này là tổng hợp của 2 bài báo cùng tên (nhưng chia thành 2 phần I, II) nói về kỹ thuật giống Hansbo nhưng solution on sub domain seperated by the interface are extedned to the entire domain (xem kỹ hơn ở cuối mục 1)
  • Stabilize đảm bảo matrix condition number $O(h^{-2})$.
  • the “ghosts” $u^1_h\vert_{\Omega_2}$ and $u^2_h\vert_{\Omega_1}$ will be present in the numerical solutions as well. It is the purpose of the stabilization introduced below to make sure that the ghosts on one hand do not cause ill-conditioning of the problem and on the other hand do not affect the order of accuracy of the method.

(chưa đọc xong hết và kỹ vì có lẽ pp hơi khác chút!)

Trung Hieu & Lehrenfeld & Arnold

Lehrenfeld’s notes

Lecture notes của Lehrenfeld2015 : Nói rất chi tiết về interface problem, các phương pháp được lựa chọn nhưng ko đi sâu vào chi tiết chứng minh hay giải tích mà chỉ nêu ra ý tưởng mà thôi. Có cả giải thích fitted/unfitted mesh, các cách capture interface, các bài tập có lời giải, Nistche method,… Nên đọc chuyên sâu ở các bài báo của anh này với Arnold. Có thể nói đây là 1 bản tóm gọn.

Trong đây có giải thích ý tưởng cho ghost penalty của Burman khá hay, trang 48.

Remark 3.5 (Ghost penalty for Nitsche-XFEM). In the context of interface problem the “ghost penalty” stabilization is interesting in cases where the weights of the averaging operator should be significantly different from the hansbo -choice, for instance for large contrast problems (see [BZ12]). In this case the Nitsche-XFEM discretization lacks stability (and suffers from arising ill-conditioned linear systems). By adding the “ghost penalty” stabilization the averaging operator is freed from the constraint that has been necessary to ensure stability (essentially (3.27)).

Remark 3.7 (Conditioning). The Ghost penalty method ensures that conditioning of the resulting system matrix is well-behaved. This holds true for boundary and interface problems. Note that even for the interface problem with the hansbo -averaging (where stability is not a problem) the resulting system matrix is ill-conditioned. In contrast to the boundary problem this can however be easily fixed by suitable preconditioning strategies which is discussed in the next section.

Trung Hieu’s article & thesis

Ý tưởng được nêu trong bài báo Lehrenfeld2011 , Hieu2009

  • unfitted mesh : xfem
  • moving interface : level set method Loch2013
  • Henry condition (xem các references nói về cái này trong thesis của Trung Hieu[ HieuThesis trang 9
  • get stable in the convection dominated case : SUPG method.
  • in time : backward euler discretization.
  • interface không phụ thuộc vào time (interface không đổi)

Bài báo của Trung Hieu Hieu2009 : Cái của Hansbo $[\beta u]=0$ trong trường hợp $\beta_1=\beta_2$ (stationary state), còn trong bài báo Trung Hieu thì hai cái này khác nhau nhưng xét cho trường hợp instationary + interface không phụ thuộc vào thời gian. Henry’s condition.

  • Trong đấy cũng nói tại sao $\beta_1 \ne \beta_2$
  • Cách chuyển từ $[\beta u]=0$ về $[\tilde{u}]=0$

In our test problems a Gauss quadrature rule of degree three on a tetrahedron is sufficient to compute the volume integrals in the bilinear form…

Arnold’s articles & books

Bài báo của Arnold2008 về basis mới

  • Ổng nói về $L^2$ stabilities của cái basis functions mới.
  • Cái mô hình ổng xét là stationary problem nhưng vẫn khẳng định nó vẫn đúng cho instationary problems.
  • Ổng có nói về việc xóa đi những finite element basis functions which have a “very small” support và cũng nói luôn tiêu chuẩn để đánh giá cái element nào là very small.

  • Trong đây có nhắc tới cái bound tốt nhất nếu dùng standard basis function

Đọc lại lần khác: arnold analysis of xfem 2008.pdf có nói về cách xử lý trường hợp vết cắt quá nhỏ dẫn tới ill conditioned. Cái này cũng được nhắc đến trong bài báo của Hansbo và Burman nhưng mấy ông này dùng biện pháp Ghost penalty.

  • Ổng cũng giả sử interface không đi qua các nodes mà ít nhất cắt tam giác tại hai cạnh.
  • Ổng xét trường hợp tổng quát cho $H^m$ luôn trong khi mình chủ yếu làm việc với $m=1$.
  • Ổng “use the notation” $\Vert u\Vert_{m,\Omega_1\cup\Omega_2}^2 = \Vert u\Vert_{m,\Omega_2}^2 + \Vert u\Vert_{m,\Omega_2}^2$
  • Ổng giả sử $\Gamma_h=\Gamma$.
  • Nếu còn thắc mắc về cái $u=(u_1,u_2)\in V^h_1 \times V^h_2$ thì có thể xem trong đây, trang 4. Ổng nói chi tiết và 1 số quy ước về việc tổng hai cái $u_1, u_2$ để trở thành $u$ nguyên vẹn!
  • Stability của basis function mới.

Có thể xem thêm về cách xử lý với các basis có support nhỏ ở coding-note-1.

Barrau & Becker

Cô nói mình xem cái thèse và bài báo của barrau (cf. Barrau2013) để bắt chước và viết theo.


Bài báo của Barrau2012 : cũng giống của Hansbo (có sau Hansbo), cái khác duy nhất là ở chỗ modify cái $\kappa_1,\kappa_2$ trong Hansbo. Mục đích là xử lý cái vụ robust. Robust ở đây nghĩa là khi thay đổi một tí ở hệ số sẽ dẫn đến thay đổi rất nhiều ở kết quả.

It leads to a robust method not only with respect to the mesh-interface geometry, but also with respect to the diffusion parameters.

Nếu trong Hansbo, $\kappa_i=\frac{\vert K_i\vert }{\vert K\vert }$ thì trong Becker,

và cũng có chút khác nhau ở tham số $\lambda$ trong discrete form.

Others

Sinha

Bài báo của Sinha Model giống như của Chen&Zou nhưng mà cái này làm cho unfitted mesh (không phụ thuộc vào interface). Cũng xét $V^h$ standard nhưng ở các triangle cắt interface thì dùng immersed finite element (2 more freedoms are added). Nghĩa là interface cắt triangle ở hai điểm thì biến 2 điểm ấy thành nodes mới rùi xét không gian trên các nodes ấy và nodes standard. Nó hơi khác so với Hansbo.

Sinha có sau cả phương pháp của Hansbo.

Assumed that the interface is independent of time, i.e. the interface does not change its topology during evolution. Đó là lý do ta xét giao điểm là nodes mới nhưng ko làm cho problem thêm phức tạp vì interface là cố định trong suốt thời gian.

Note: thật sự chưa hiểu rõ lắm phương pháp của bài báo này có gì khác so với cái của Chen&Zou ngoài việc ổng chỉ nói là unfitted chứ lúc chứng minh thấy cũng xét $V^h$ như bình thường. $\Rightarrow$ Đã biết: Sinha dùng unfitted, lấy giao điểm làm nodes mới, khác với Chen Zou là fitted mesh, khác với Hansbo là lấy nodes cũ và interface có thể thay đổi theo thời gian.

Cho parabolic, spatially semidiscrete và cả fully discrete được xét.

Chopp & Duddu

Mô hình của Chopp trong Duddu2006 có nói có thể xem phương trình của $S$ như là quasi-steady state nên có thể bỏ phần $\partial_t S$ và bỏ luôn cái liên quan đến advection $U$. Cái vụ xem như quasi-steady state có thể xem ở bài báo Chopp2003 trang 1062 (trang 10 file pdf), lý do là trong phương trình có hai lượng $B,D$ gì đó mà magnitude của chúng rất lớn hay sao đó nên có thể bỏ qua vụ time dependent. Còn vụ có thể bỏ lượng liên quan đến $U$ thì có thể xem bài?

Tại sao Chopp có làm XFEM+level set rồi? Vậy khác ở đâu?

  • Chopp làm với XFEM, mình làm với NXFEM. Hai cái này về cơ bản có sự liên hệ thông qua 1 hàm heavy side. XFEM là giữ nguyên standard basis function trong khi NXFEM là biến đổi các standard basis function này.
  • Chopp là với model rất đơn giản của substrate + biofilm
  • No analysis work! (có gợi ý phương trình, phương pháp nhưng thiên về technique). Không có chứng minh tồn tại, hội tụ, wellposedness
  • BCs của ông này cũng đơn giản, của mình là Robin lằn bà nhằn

chopp duddu et al 2008 A two-dimension growth continuum model of biofilm growth incorporating fluid flow and shear stress based detachment

  • The model considers fluid flow around the biofilm surface, the advection-diffusion and reaction of substrate, variable mass volume fraction and erosion due to the interface shear stress at the biofilm fluid interface.
  • Detachment due to erosion is modeled using two continuous speed functions based on: (a) interfacial shear stress + (b) biofilm height.
  • Solution method: XFEM is used to computed $u,S,\Phi$ (velocity field, substrate concentration, biofilm growth). The level set method is used to track the biofilm interface. However, they use the less diffusive fast marching scheme with velocity extensions.
  • Governing equations (in the paper)
  • The authors present the results obtained from their numerical method using the model parameters and kinetics given in other authors’ work.

Zunino

Bài báo zunino 2011 unfitted interface penalty contrast.pdf nói về

  • Việc trị ill-conditioning by using preconditioning method.
  • cũng dựa trên fictitious domain method
  • Mở rộng ra $H^1$ stability thay vì $L^2$ như trong bài báo của Arnold 2008
  • This analysis of the XFEM space is closed by the proof of discrete inequalities that will be useful to address the stability and conditioning of the scheme proposed in Hansbo 2002
  • because for such technique both large contrast of diffusion coefficients and small sub-elements negatively affect the condition number of the discrete problem.

Thật sự trùng hợp là ý tưởng của Zunino về việc xây dựng 1 ma trận $P$ (trang 1072) cũng giống với ý tưởng trong sách của Arnold trang 274. Có sự khác nhau nhẹ là ở Zunino có nhân thêm các hệ số diff và reaction.

trong đó $v=v^{\Omega} + v^{\Gamma}_1 + v^{\Gamma}_2$, $\mu=$ diffusion coefficient, $\epsilon=$ reaction coefficient, $M,L$ lần lượt là mass và stiffness matrix và

Sau đó ta sẽ có ma trận mới $P^{-1}A$ có condition number nhỏ hơn $A$ nhiều.

Others

Các bài báo của người khác (cũng làm liên quan đến chủ đề này, interface) : Ribot, Dianlei Feng, Trung Hieu, Arnold, Nelly Barrau, Christoph Lehrenfeld.


Papers liên quan đến fitted meshes : nằm trong thư mục fitted mesh, không nhiều lắm.w


Các bài báo của Cogan đều thiếu 1 cái gì đó, cô đã nói như vậy.


Nonlinear + Semilinear, vấn đề nonlinear problem trong sách của Thomee2006 (chương 13 phiên bản mới)


Thesis của Loch, Loch2013 : Nói rất chi tiết về Level set method khi capture interface. Ông này làm dưới sự hướng dẫn của Arnold.


Bài báo của Chen Zou Chen1998 : $[u]=0$, fitted mesh, có cả cho elliptic và parabolic problem. Không đề cập là interface có change with time hay không. Cái này là fitted mesh.

Cho Elliptic,

Cho Parabolic chỉ xét fully discrete scheme thôi, trong khi Sinha xét thêm semidiscrete và xét unfitted.


Có 1 file tên thi_papers.pdf có lưu thông tin đọc các bài báo sau đây

  • chopp duddu et al 2008 A two-dimension growth continuum model of biofilm growth incorporating fluid flow and shear stress based detachment
  • chopp duddu et al 2007 Combined extended finite element and level set method for biofilm growth
  • chopp et al 2002 A mathematical model of quorum sensing in a growing bacterial biofilm
  • picioreanu et al 2000a Effect of diffusive and convective substrate transport on biofilm structure formation: a two-dimensional modeling study
  • picioreanu et al 2000b Discrete-Differential modelling of biofilm structure
  • rittman 1982 The effect of shear stress on biofilm loss rate
Top