menu
Anh-Thi DINH

PhD: Note on article 1

Posted on 21/03/2018, in PhD.

Những thứ linh tinh

Tại sao lại có $\pi_l^d$ dính với $\Phi$ trong chứng minh convergence của $G_h^d$ về $\nabla v$? Bởi vì Def 1.57 trong sách discontinuous galerkin method BOOK - Di Pietro-Ern.pdf. Điều này có thể giải thích sự khó hiểu trong chứng minh của Theorem 2.2 trong discrete discontinuous galerkin - pietro - ern.pdf.


Cái vụ RHS, load vector

có thể áp dụng được như trong Lemma 3.2.2 của fem sol nonlinear elliptic - zenisek 1987.pdf.

Distrintion sense and idea of convergence

Vì lý do áp dụng distribution sens của $\int_{R^n}\nabla v\cdot \varphi$ nên ta phải lấy trên không gian $C_c^{\infty}$. Lưu ý rằng ổng có nói về density của $C_c^{\infty}$ trong $H^1_0$, có thể xem chứng minh vụ density này ở Theorem 1.3 tại đây hoặc Theorem 1.8 của distribution pascal frey.pdf.


[s] For the density (dense)

Nếu muốn tra chính xác xem Brezis - Cazenave - BOOK.pdf và sách của Adams.


Nói về định nghĩa discrete gradient, jump=0 và sự tương ứng giữa hai không gian, có thể đọc ở mục 1.2.5 sách discontinuous galerkin method BOOK - Di Pietro-Ern.pdf.

Dùng Brouwer thay vì Schauder chứng minh fixed point T

Với cái semilinear (phiên bản cũ) của hàm weak, ta dùng Schauder còn với cái semilinear của discrete ta lại dùng Brouwer, tại sao vậy?

Tại vì discrete thì có thể dùng Brouwer với ít điều kiện hơn, còn nếu cho trường hợp liên tục, strong thì mới dùng Schauder.

Semilinear existence solution and unique

  • Sự tồn tại duy nhất của solution của weak form được nói đến nhiều trong korotov 2009zenisek 1987 với 1 loạt assumptions luôn.
  • Cái inverse, nghiệm của weak cũng là nghiệm của strong được miêu tả nhiều và chi tiết trong korotov 2009,
  • Cách chứng minh tồn tại và duy nhất của semilinear equation trong korotov 2009 rất lạ (theorem 2.1), tác giả bắt chước pp được nêu ở chương 10 của BOOK farago (theorem 5.15). Ông korotov cũng lấy ý tưởng assumptions trong sách này (assumption 6.2)

[14/3] Sao phải dùng v=nab v=0 trên Gam? Dùng pp gì?

Có thể xem trong chopp duddu et al 2006 combine nxfem levelset.pdf. Ổng nói là để cho B (hay v) liên tục qua interface thì phải có điều kiện đó (do v=0 outside biofilm region).

Có thể dùng space khác cho test function được không?

Tại sao Trung Hieu dùng tích vô hướng có coef? : Thay vì dùng tích vô hướng bình thường, anh ấy lại dùng tích vô hướng có $\beta$ trong đó, dự đoán lý do là bởi Henry interface condition ($[\beta u]=0$).

Tại sao phải dùng ý tưởng chứng minh của Ern, Di Pietro?

Câu hỏi này nảy sinh khi thử bỏ đi điều kiện Robin BCs, khi ấy phương trình của w giống như phương trình của u trong Hansbo rồi, pp làm tương tự. Sự khác nhau bây giờ chỉ là nonlinear mà thôi!

  • System semilinear + system đã có người làm rồi (Chen) (xem thêm ở đây) nhưng không có interface.
  • Semilinear + interface đã có sinha et al làm rùi nhưng không dùng nxfem mà dùng iim (xem thêm ở đây
  • Cái của mình là semilinear system + nxfem/interface.

Tại vì cái của mình là nonlinear, không áp dụng $\Vert \cdot \Vert \ge C…$ được vì cái này chỉ có cho linear case mà thôi!

Tại sao trong công thức của weak form of $w$ lại còn $\bar{\alpha}$?

Vì ta không thể chia hai vế cho $\bar{\alpha}$ được do cái term đầu tiên là trên toàn miền $\Omega$ (tức có cả $\alpha_1,\alpha_2$), còn 2 cái terms sau chỉ xét trên $\Omega_1$ mà thôi (tức chỉ có $\alpha_1$).

Viết tượng trưng rõ ra thì nó giống vầy

không thể suy ra được

Thật ra là có thể, lập luận như sau. Nhân cả hai vế của cái trên trên cho $\alpha^{-1} = \begin{cases}\alpha^{-1}_1 \text{ in }\Omega_1 \ \alpha^{-1}_2 \text{ in }\Omega_2 \end{cases}$, we have

Rồi do định nghĩa của $\alpha^{-1}$, ta có restricted của nó trên mỗi miền là khác nhau, ví dụ


Convergence error không thể xét theo dạng thông thường $\Vert u-u_h\Vert$ được vì nghiệm trong trường hợp này không có duy nhất!


Với 3 chuẩn triple, cái chuẩn liên quan đến $v$ thì có thể chứng minh được nó tương đương với cái chuẩn 2 bằng cách ==> sai!!!

Update 14/3/18: Sai vì trong cái chuẩn 1, đó là $\Vert { \nabla _n z } \Vert_{-1/2}$ chứ không phải là $\Vert { z } \Vert_{-1/2}$

Câu hỏi đặt ra là chuẩn triple 1 và triple 2 có tương đương với nhau không?

  • Không có cách nào đánh giá $\Vert [ \bar{\alpha}z ]\Vert_{\frac{1}{2}}$ được so với cái chuẩn còn lại. Chỉ có thể đánh giá nó với lượng $\Vert [ z ]\Vert_{\frac{1}{2}}$ mà thôi vì nếu đánh giá nó với các lượng khác thì cái chuẩn ko có xuất hiện lượng $\Vert [ z ]\Vert_{\frac{1}{2}}$ này làm cái gì. Nhưng 2 cái này không thể đánh giá được!!! Vướng mắc lớn ở cái định nghĩa $\Vert\cdot\Vert_{\frac{1}{2}}$ có $\frac{1}{h}$ trong đó!
  • Còn cái $\Vert {\bar{\alpha}\nabla_n z} \Vert_{-\frac{1}{2}}$ thì có thể đánh giá được! Tại sao trong Hansbo cái chuẩn triple ko có $\alpha$ nhưng trong khi chứng minh coercive thì cái lượng lại có $\alpha$? Vậy làm sao chứng minh cái lượng có $\alpha$ lớn hơn cái ko có được?

Chú ý quan trọng, $\Vert v_h\Vert^2_{L^2(\Omega)} = \Vert v_h\Vert^2_{L^2(\Omega_{12})}$ vì $\int_{\Omega}v_h^2 = \int_{\Omega_1}v_h^2 + \int_{\Omega_2}v_h^2$ . Nhớ rằng, chỉ có $\Omega_{12}$ khi có cái $\alpha$ thôi vì thực tế $\int_{\Omega}\alpha$ không có ý nghĩa vì $\alpha$ có giá trị khác nhau ở hai subdomain $\Omega_i$.

Thật ra có thể tham khảo câu hỏi Is Lebesgue measure of the boundary of a bounded Lipschitz domain in R^n zero?

Boundary condition của $u,v$?

Lúc đầu có điều kiện thế này ($\Omega_1 = \Omega_b$)

Tuy nhiên sau khi đặt $w=\alpha u+\frac{\beta}{\lambda}v$ thì không biết điều kiện của $w$ trên $\partial\Omega_1\backslash\Gamma$ là gì? (xem file hw note “table meet blouza existence semilinear 26-6.pdf”)

Do đó mới có cái điều kiện $u+\varepsilon \nabla_n u=\hat{u}$ và tương tự cho $v$.

Các phiên bản của article1.pdf

  • article1 - 251116.pdf : Sử dụng hệ mới ${w,v,u=}$ và thay đổi tất cả các định lý, $a_{v}, a_{vh}$ liên quan.

Tại sao ta có form của $a_{vh}$ liên quan tới $B=0$ on $\Gamma$

Ta có phương trình

Take the integration by parts on each subdomain, we have

then we have

Recall again, (note that, có thể sử dụng form khác giống trong Becker, xem note này.)

and expand the expression,

Cuối cùng, ta chọn ra vài terms cho $a_{vh}$

Top